Na física, as equações de Maxwell no espaço-tempo curvo governam a dinâmica do campo eletromagnético no espaço-tempo curvo
[1] (onde a métrica não pode ser a métrica de Minkowski) ou quando se usa um sistema , não necessariamente cartesiano, arbitrário de coordenadas. Estas equações podem ser vistas como uma generalização das equações de Maxwell, que são normalmente formuladas nas coordenadas locais[nota 1] do espaço-tempo plano. Entretanto porque a relatividade geral dita que a presença de campos eletromagnéticos (ou energia/matéria em geral) induzem curvatura do espaço-tempo, as equações de Maxwell no espaço-tempo plano devem ser vistas como uma aproximação.
O campo electromagnético[2] é um tensor antissimétrico covariante de classe 2,[3] que pode ser definido em termos de potencial electromagnético por
Para verificar que esta equação é invariante, podemos transformar as coordenadas (tal como descrito no tratamento clássico de tensores)
Esta definição implica que o campo electromagnético satisfaz
que incorpora a lei de indução de Faraday e lei de Gauss[4] para o magnetismo. Isto é demonstrado por
Embora parece ter 64 equações em Faraday-Gauss, elas realmente reduzem-se a apenas quatro equações independentes
.[5] Utilizando a antisimetria do campo electromagnético pode-se reduzir a uma identidade (0 = 0) ou tornar redundante todas as equações, com excepção para aqueles com λ, μ, ν = 1,2,3; ou 2,3,0; ou 3,0,1; ou 0,1,2.
A equação de Faraday-Gauss é por vezes escrita
onde o ponto e vírgula indica uma derivada covariante, vírgula indica uma derivada parcial, e colchetes indicam anti-simetrização (Veja Gregorio Ricci-Curbastro).[6] A derivada covariante do campo eletromagnético é
onde Γαβ γ é o símbolo de Christoffel que é simétrico em seus índices mais baixos.
Referências
Notas
- ↑ Coordenadas locais são índices de medição em um sistema de coordenadas locais ou um espaço de coordenadas locais.