Integral de Darboux

Em análise real, um campo da matemática, a integral de Darboux ou soma de Darboux é uma definição possível da integral de uma função. Integrais de Darboux são equivalentes as integrais de Riemann, o que significa que uma função é integrável por integral de Darboux se, e somente se, for integrável pela integral de Riemann, e os valores das duas integrais, caso existam, forem iguais. Integrais de Darboux têm a vantagem de serem mais simples de definir que as integrais de Riemann. Elas são nomeadas em virtude de seu criador, Gaston Darboux.

As integrais inferior e superior de Darboux

Somas de Darboux inferior (verde) e superior (verde mais lavanda) para quatro subintervalos.

Uma partição de um intervalo [a,b] é uma sequência finita de valores x_i tais que

$a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b.\,\!$

Cada intervalo [x_i−1,x_i] é chamado um subintervalo da partição. Sendo ƒ:[a,b]→R uma função limitada, e fazendo P ser uma partição de [a,b]:

$P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\,\!$

Tem-se

${\begin{aligned}M_{i}=\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x),\\m_{i}=\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x).\end{aligned}}$

A soma superior de Darboux de ƒ em relação a P é

$U_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})M_{i}.\,\!$

A soma inferior de Darboux de ƒ em relação a P é

$L_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})m_{i}.\,\!$

A integral superior de Darboux de ƒ é

$U_{f}=\inf\{U_{f,P}\colon P{\text{ uma particao de }}[a,b]\}.\,\!$

A integral inferior de Darboux de ƒ é

$L_{f}=\sup\{L_{f,P}\colon P{\text{ uma particao de }}[a,b]\}.\,\!$

Se U_ƒ = L_ƒ, então diz-se que ƒ é integrável por integral de Darboux e faz-se

$\int _{a}^{b}{f(t)\,dt}=U_{f}=L_{f},\,\!$

o valor comum das integrais superior e inferior de Darboux.