Lagos de Wada

Objeto representando o Lago de Wada

Representação do Lago de Wada

Em matemática, os lagos de Wada (和田の湖 Wada no mizuumi) são três conjuntos abertos, disjuntos e conexos do plano ou do quadrado unitário aberto com a propriedade contraintuitiva de que todos eles têm a mesma fronteira.

Mais de dois conjuntos com a mesma fronteira são ditos terem a propriedade Wada; exemplos incluem bacias Wada em sistemas dinâmicos.

Os lagos de Wada foram introduzidos por Kunizō Yoneyama (1917, p. 60), que creditou a descoberta a Takeo Wada. Sua contribuição é similar a construção por Brouwer (1910) de um contínuo indecomponível, e de fato é possível para a fronteira comum de três conjuntos serem contínuos indecomponíveis.

A construção dos lagos de Wada

Primeiros cinco etapas dos Lagos de Wada

Os Lagos de Wada são formados começando com um quadrado unitário fechado de terra seca, e então escava-se 3 lagos de acordo com a seguinte regra:

• No dia n = 1, 2, 3,... estende-se o lago n mod 3 (= 0, 1, 2), de modo que ele seja aberto e conectado e passa a uma distância de 1/n de todo o restante da terra seca. Isto deve ser feito de forma que a terra seca restante permanece homeomórfica para um quadrado unitário fechado.

Depois de um número infinito de dias, três lagos ainda são conjuntos disjuntos conexos, e o restante de terra seca é o limite de cada um dos 3 lagos.

Por exemplo, os primeiros 5 dias podem ser (ver imagem à direita):

1. Cavar um lago azul de largura de 1/3 passando por √2/3 de toda a terra seca.
2. Cavar um lago vermelho de largura de 1/3² passando por √2/3² de todas as terras secas.
3. Cavar um lago verde de largura de 1/3³ passando por √2/3³ de todas as terras secas.
4. Estender o lago azul por um canal de largura 1/3⁴ passando por √2/3⁴ de toda a terra seca (O pequeno canal liga o fino lago azul para o mais espesso, perto do centro da imagem).
5. Estender o lago vermelho por um canal de largura 1/3⁵ passando por √2/3⁵ de toda a terra seca (O pequeno canal liga o fino lago vermelho para o mais espesso, perto do canto superior esquerdo da imagem).

Uma variação dessa construção pode produzir um número infinito contável de lagos conectados com a mesma fronteira: em vez de estender os lagos em ordem 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, ...., estender-los na ordem 0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4, ...e assim por diante.

Bacias de Wada

Bacias de atração de Wada para $z^{3}-1=0$; todas as três bacias abertas e desconectadas têm a mesma fronteira

Bacias de Wada são determinadas bacias de atração estudadas na matemática de sistemas não-lineares. Uma bacia tendo a propriedade de que cada vizinhança de cada ponto na fronteira dessa bacia intercepta ao menos três bases é chamada uma bacia de Wada, ou dito ter a propriedade de Wada. Ao contrário dos Lagos de Wada, bacias de Wada são muitas vezes desconectadas.

Um exemplo de bacias de Wada é dada pelo método de Newton-Raphson aplicado a um polinômio cúbico com raízes distintas, tais como $z^{3}-1$; veja a imagem.

Um sistema físico que demonstra bacias de Wada é o padrão de reflexões entre três esferas em contato.

Bacias de Wada na teoria do caos

Na teoria do caos, bacias de Wada surgem muito frequentemente. Geralmente, a propriedade de Wada pode ser vista na bacia de atração de sistemas dinâmicos dissipativos. Mas a saída das bacias de sistema Hamiltoniano também pode mostrar a propriedade de Wada. No contexto da dispersão caótica de sistemas com várias saídas, bacias de saída mostram a propriedade de Wada. M. A. F. Sanjuan et. al  mostraram que o sistema Henon-Heiles de bacias de saída tem a propriedade de Wada.

Referências

• Breban, Romulus; Nusse, H E. (2005). «On the creation of Wada basins in interval maps through fixed point tangent bifurcation». Physica D. 207 (1–2): 52-63. doi:10.1016/j.physd.2005.05.012 
• Brouwer, L. E. J. (1910). «Zur Analysis Situs». Mathematische Annalen. 68 (3): 422-434. doi:10.1007/BF01475781 
• Coudene, Yves (2006). «Pictures of hyperbolic dynamical systems» (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 53 (1): 8-13. ISSN 0002-9920 
• Gelbaum, Bernard R.; Olmsted, John M. H. (2003). Counterexamples in analysis. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 0-486-42875-3  exemplo 10.13
• Hocking, J. G.; Young, G. S. (1988). Topology. New York: Dover Publications. p. 144. ISBN 0-486-65676-4 
• Kennedy, J; Yorke, J.A. (1991). «Basins of Wada». Physica D. 51: 213–225. doi:10.1016/0167-2789(91)90234-Z 
• Sweet, D.; Ott, E.; Yorke, J. A. (1999). «Complex topology in Chaotic scattering: A Laboratory Observation». Nature. 399 (6734). 315 páginas. doi:10.1038/20573 
• Yoneyama, Kunizô (1917). «Theory of Continuous Set of Points». Tôhoku Mathematical Journal. 12: 43-158 

Ligações externas

• Uma realização experimental da Wada-bacias (com fotografias)
• Uma introdução à Wada bacias e a Wada propriedade
• Reflexiva Esferas do Infinito: Wada Bacia Fractais
• Wada bacias: prestação de dispersão caótica