Operador escada

Em álgebra linear, e em suas aplicações em mecânica quântica, um operador escada ou operador de escada (tais como os operadores elevador ou de criação e abaixador ou de destruição) é um operador que aumenta ou diminui o autovalor de outro operador. Em mecânica quântica, o operador elevador é também é conhecido como operador de criação, enquanto o abaixador é chamado de operador de destruição ou aniquilação. Aplicações dos operadores escada podem ser vistas em mecânica quântica no oscilador harmônico quântico e no momento angular.

Propriedades gerais

Suponhamos que os operadores ${\hat {X}}\,$ e ${\hat {N}}\,$ tenham uma relação de comutação que é proporcional ao operador ${\hat {X}}\,$

$[{\hat {N}},{\hat {X}}]=c{\hat {X}}\,$

sendo $c\,$ um escalar. Se $|n\rangle$ é um auto-estado de ${\hat {N}}$, ou seja,

${\hat {N}}|n\rangle =n|n\rangle ,$

Em seguida, o operador ${\hat {X}}\,$ atuará em $|n\rangle$, acrescentando assim, $c$ ao auto-valor, isto é,

${\hat {N}}{\hat {X}}|n\rangle$	${}=({\hat {X}}{\hat {N}}+[{\hat {N}},{\hat {X}}])|n\rangle$
	${}=({\hat {X}}{\hat {N}}+c{\hat {X}})|n\rangle$
	${}={\hat {X}}{\hat {N}}|n\rangle +c{\hat {X}}|n\rangle$
	${}={\hat {X}}n|n\rangle +c{\hat {X}}|n\rangle$
	${}=(n+c){\hat {X}}|n\rangle .$

Em outras palavras, se $|n\rangle$ é um auto-estado de ${\hat {N}}$ com auto-valor $n$, então ${\hat {X}}|n\rangle$ é um auto-estado de ${\hat {N}}$ com auto-valor $n+c$. O operador ${\hat {X}}$ será um operador elevador para ${\hat {N}}$ se $c$ for real e positivo, e um operador abaixador para ${\hat {N}}$ se $c$ for real e negativo.

Se ${\hat {N}}$ é um operador hermitiano, então $c$ deve ser real, sendo que o operador adjunto de ${\hat {X}}$ obedece a seguinte relação:

$[{\hat {N}},{\hat {X^{\dagger }}}]=-c{\hat {X^{\dagger }}}.\quad$

Em particular, se ${\hat {X}}$ é um operador abaixador para ${\hat {N}}$, então ${\hat {X^{\dagger }}}$ é um operador elevador para ${\hat {N}}$, e vice-versa.