Polinômio aditivo

Em Matemática, polinômio aditivo é um tópico importante dentro da Teoria Algébrica dos Números.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja k um corpo^[1] de característica p, com p sendo um número primo. Um polinômio P(x) com coeficientes em k é chamado de polinômio aditivo, ou um polinômio com endomorfismo de Frobenius, ou ainda um polinômio de Frobenius, se

P(a+b)=P(a)+P(b)\,

como polinômio em a e b. É equivalente assumir que esta igualdade é válida para todos os a e b em alguns corpos infinitos contendo k, tal como seu fecho algébrico.

Ocasionalmente o termo absolutamente aditivo é usado para a condição acima, e o termo aditivo é usado para condição mais fraca que P(a + b) = P(a) + P(b) para todo a e b no corpo. Para corpos infinitos, as condições são equivalentes, mas para corpos finitos não são, e a condição mais fraca é a "errada" e não é bem comportado. Por exemplo, sobre um corpo de ordem q qualquer múltiplo P de x^q − x terá satisfeito P(a + b) = P(a) + P(b) para quaisquer a e b no corpo, mas geralmente não será (absolutamente) aditivo.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

O polinômio x^p é aditivo. Na verdade, para qualquer a e b no fecho algébrico de k pelo teorema binomial tem-se

(a+b)^{p}=\sum _{n=0}^{p}{p \choose n}a^{n}b^{p-n}.

Desde que p é primo, para todos n = 1, ..., p−1 o coeficiente binomial $\scriptstyle {p \choose n}$ é divisível por p,o que implica que

(a+b)^{p}\equiv a^{p}+b^{p}\mod p

como polinômio em a e b.

Similarmente todos os polinômios da forma

\tau _{p}^{n}(x)=x^{p^{n}}

são aditivos, onde n é um inteiro não-negativo.

Anel dos polinômios aditivos[editar | editar código-fonte]

É bastante fácil para provar que qualquer combinação linear de polinômios $\scriptstyle \tau _{p}^{n}(x)$ com coeficientes em k é também um polinômio aditivo. Uma questão interessante é saber se existem outros polinômios aditivos exceto estas combinações lineares. A resposta é que estes são os únicos.

Pode-se verificar que, se P(x) e M(x) são polinômios aditivos, assim são P(x) + M(x) e P(M(x)). Isso implica que os polinômios aditivos formam um anel sobre adição e composição de polinômios. A notação deste anel é

k\{\tau _{p}\}.\,

Este anel é não-comutativo a não ser que k seja igual ao corpo $\scriptstyle \mathbb {F} _{p}=\mathbf {Z} /p\mathbf {Z}$ (ver aritmética modular). De fato, considere o polinômio aditivo ax e x^p para um coeficiente a em k. Para eles, comutar sob composição, deve-se ter

(ax)^{p}=ax^{p},\,

ou a^p − a = 0. Isto é falso para a não sendo raiz da equação, isto é, para a fora de $\scriptstyle \mathbb {F} _{p}.$ O polinômio teria mais de p raízes.

Teorema fundamental[editar | editar código-fonte]

Seja P(x) um polinômio com coeficientes em k, e $\scriptstyle \{w_{1},\dots ,w_{m}\}\subset k$ o conjunto de suas raízes. Assumindo que as raízes de P(x) são distintas (isto é, P(x) é um polinômio separável), então P(x) é aditivo se e somente se o conjunto $\scriptstyle \{w_{1},\dots ,w_{m}\}$ forma um grupo com um corpo aditivo.