Potencial de Pöschl-Teller

Em física matemática, um potencial de Pöschl-Teller, em homenagem aos físicos Herta Pöschl e Edward Teller, é uma classe especial de potenciais para os quais a equação de Schrödinger unidimensional pode ser resolvida em termos de funções especiais.

Definição

Na sua forma simétrica sua definição é explicitamente dada por

$V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}\mathrm {sech} ^{2}(x)$

e as soluções da equação de Schrödinger independente do tempo

$-{\frac {1}{2}}\psi ''(x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)$

com este potencial pode ser encontrado em virtude da substituição $u=\mathrm {tanh(x)}$, que produz

$\left[(1-u^{2})\psi '(u)\right]'+\lambda (\lambda +1)\psi (u)+{\frac {2E}{1-u^{2}}}\psi (u)=0$.

Assim as soluções $\psi (u)$ (são apenas as funções de Legendre $P_{\lambda }^{\mu }(\tanh(x))$ com $E={\frac {-\mu ^{2}}{2}}$, e $\lambda =1,2,3\cdots$, $\mu =1,2,\cdots ,\lambda -1,\lambda$. Além disso, os autovalores e os dados de espalhamento podem ser explicitamente computados

No caso especial do inteiro $\lambda$, o potencial é sem reflexão e tais potenciais também surgem como as soluções de sóliton N da equação de Korteweg-de Vries.

A forma mais geral do potencial é dada por

$V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}\mathrm {sech} ^{2}(x)-{\frac {\nu (\nu +1)}{2}}\mathrm {csch} ^{2}(x).$