Seja uma função , ou seja, uma função cujo domínio são os pares , com . Suponha, então, uma rede limitada à esquerda e acima com os termos , conforme ilustrado abaixo
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Denotamos por a sequência dupla dessa função.[1]
O valor do termo dessa sequência, correspondente à posição , é chamado de termo da sequência dupla.
É fácil notar que, como a sequência é definida em , e .
Dizemos que uma sequência dupla é convergente se .
Assim, é convergente se . Como é único, ele é chamado de limite duplo de e é denotado por .
Tome , isso implica
(1)
(2)
(3)
(4) seja , e
Uma sequência dupla é convergente se e somente se é uma sequência dupla de Cauchy.
DEMONSTRAÇÃO
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Imediato.
Seja uma sequência dupla de Cauchy, tome
as sequências diagonais , para .
Oras, é uma sequência de Cauchy. A prova segue, então,
do Critério de Cauchy de uma variável.
Seja e dado,
Como é Cauchy, e
Pela desigualdade triangular
. Logo, converge para .
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Se uma sequência dupla tem limite duplo e um (ou ambos) os limites
iterados, então esses limites têm que ser iguais.[2]
DEMONSTRAÇÃO
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Como o limite duplo existe, dado ,.
Segue que, se existe e , podemos levar em para obter , se , de modo que , cqd.
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- ↑ Ghorpade, Sudhir R.,Balmohan V. Limaye (2010). «Chapter 7». A Course in Multivariable Calculus and Analysis. [S.l.]: Springer. p. 369-375
- ↑ Walker, Peter. «Chapter 1». Examples and Theorems in Analysis. [S.l.: s.n.]