Teorema de interseção de Cantor

O teorema de interseção de Cantor refere-se a dois teoremas intimamente relacionados em topologia geral e análise real, nomeados em homenagem a Georg Cantor, sobre interseções de sequências aninhadas decrescentes de conjuntos compactos não vazios.

Declaração Topológica

• Teorema

Deixe $S$ ser um espaço topológico. Uma sequência aninhada decrescente de compactos não vazios, subconjuntos fechados de $S$ tem um cruzamento não vazio. Em outras palavras, supondo que $(C_{k})_{k\geq 0}$ é uma sequência de subconjuntos compactos e fechados não vazios de S satisfazendo

$C_{0}\supset C_{1}\supset \cdots \supset C_{n}\supset C_{n+1}\supset \cdots ,$

segue que

$\bigcap _{k=0}^{\infty }C_{k}\neq \emptyset .$

A condição de fechamento pode ser omitida em situações onde cada subconjunto compacto de $S$ está fechado, por exemplo quando $S$ é Hausdorff.

• Prova

Suponha, por meio de contradição, que ${\textstyle \bigcap _{k=0}^{\infty }C_{k}}=\emptyset$. Para cada $k$, deixe $U_{k}=C_{0}\setminus C_{k}$. Uma vez que ${\textstyle \bigcup _{k=0}^{\infty }U_{k}}=C_{0}\setminus {\textstyle \bigcap _{k=0}^{\infty }C_{k}}$ e ${\textstyle \bigcap _{k=0}^{\infty }C_{k}}=\emptyset$, temos ${\textstyle \bigcup _{k=0}^{\infty }U_{k}}=C_{0}$. Já que $C_{k}$ estão fechados em relação a $S$ e, portanto, também fechado em relação a $C_{0}$, the $U_{k}$, o conjunto deles complementa em $C_{0}$, estão abertos em relação a $C_{0}$.

Uma vez que $C_{0}\subset S$ é compacto e $\{U_{k}\vert k\geq 0\}$ é uma capa aberta (on $C_{0}$) de $C_{0}$, uma capa finita $\{U_{k_{1}},U_{k_{2}},\ldots ,U_{k_{m}}\}$ pode ser extraído. Deixar $M=\max _{1\leq i\leq m}{k_{i}}$. Então ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{m}U_{k_{i}}}=U_{M}$ porque $U_{1}\subset U_{2}\subset \cdots \subset U_{n}\subset U_{n+1}\cdots$, pela hipótese de aninhamento para a coleção $(C_{k})_{k\geq 0}$. Consequentemente, $C_{0}={\textstyle \bigcup _{i=1}^{m}U_{k_{i}}}=U_{M}$. Mas então $C_{M}=C_{0}\setminus U_{M}=\emptyset$, uma contradição. ∎