Transformada de Gabor
A transformada de Gabor, em homenagem a Dennis Gabor, é um caso especial da Transformada de Fourier de Tempo Curto. É utilizada para determinar a frequência senoidal e o conteúdo da fase das seções locais de um sinal à medida que muda ao longo do tempo. A função a ser transformada é multiplicada primeiramente por uma função Gaussiana, que pode ser considerada como uma função de janela, e a função resultante é então transformada com uma transformada de Fourier para derivar a análise tempo-frequência.[1] A função de janela indica que o sinal próximo ao tempo analisado terá maior peso. A transformada de Gabor de um sinal x(t) é definida por esta fórmula:
A função gaussiana tem um intervalo infinito e é impossível de implementar. Contudo, um nível de significância pode ser escolhido (por exemplo 0.00001) para a distribuição da função gaussiana.
Fora destes limites de integração () a função gaussiana é suficientemente pequena para ser ignorada. Assim, a transformada de Gabor pode ser satisfatoriamente aproximada como
Esta simplificação torna a transformada de Gabor prática e viável.
A largura da função de janela também pode ser variada para otimizar a troca de resolução tempo-frequência para uma aplicação específica, substituindo o por para algum alfa escolhido.
Transformada inversa de Gabor[editar | editar código-fonte]
A transformada de Gabor é invertível. O sinal original pode ser recuperado pela seguinte equação
Propriedades da Transformada de Gabor[editar | editar código-fonte]
A transformada de Gabor tem muitas propriedades como aquelas da transformada de Fourier. Essas propriedades estão listadas nas tabelas a seguir.
Sinal | Transformada de Gabor | Observações | |
---|---|---|---|
1 | Propriedade de linearidade | ||
2 | Propriedade de mudança | ||
3 | Propriedade de modulação |
Observações | ||
---|---|---|
1 | Propriedade de integração de energia | |
2 | Propriedade de soma de energia | |
3 | Propriedade de decaimento de energia | |
4 | Propriedade de recuperação |
Aplicação e exemplo[editar | editar código-fonte]
A principal aplicação da transformada de Gabor é usada em análises tempo-frequência. Tome a seguinte equação como um exemplo. O sinal de entrada tem componente de frequência de 1 Hz quando t ≤ 0 e tem componente de frequência de 2 Hz quando t > 0
Mas se a largura de banda total disponível for de 5 Hz, outras bandas de frequência, com exceção de x(t), serão desperdiçadas. Através da análise tempo-frequência, aplicando a transformada de Gabor, a largura de banda disponível pode ser conhecida e essas bandas de frequência podem ser usadas para outras aplicações, assim, a largura de banda é salva. A imagem do lado direito mostra o sinal de entrada ' 'x ' '( ' ’t ' ') e a saída da transformada de Gabor. Como era nossa expectativa, a distribuição de frequência pode ser separada em duas partes. Uma é t ≤ 0 e a outra é t > 0. A parte branca é a banda de frequência ocupada por x(t) e a parte preta não é utilizada. Nota-se que, para cada ponto no tempo, existe uma componente de frequência negativa (parte branca superior) e uma positiva (parte branca inferior).
Transformada discreta de Gabor[editar | editar código-fonte]
Uma versão discreta da representação de Gabor
com
pode ser derivada facilmente através da discretização da função base de Gabor nestas equações. Assim, o parâmetro contínuo t é substituído pelo tempo discreto k. Além disso, o limite de soma agora finito na representação de Gabor tem de ser considerado. Desta forma, o sinal amostrado y(k) é dividido em M períodos de tempo de comprimento N. De acordo com , o fator Ω para a amostragem crítica é
Similar à DFT (Transformação Discreta de Fourier), obtém-se um domínio de frequência dividido em N partições discretas. Uma transformação inversa destas N partições espectrais conduz então a N valores y(k) para a janela de tempo, que consiste em N valores de amostra. Para janelas de tempo M globais com N valores de amostra, cada sinal y(k) contém K=N .M valores de amostra (a representação discreta de Gabor):
com
De acordo com a equação acima, os coeficientes N M correspondem ao número de valores de amostra K do sinal.
Para a super amostragem está definido para com N' > N, que resulta em coeficientes de soma N ' > N na segunda soma da representação discreta de Gabor. Neste caso, o número de coeficientes de Gabor obtidos seria M N'>K. Assim, mais coeficientes do que os valores amostrais estão disponíveis e, portanto, uma representação redundante seria obtida.
Transformada de Gabor escalonada[editar | editar código-fonte]
Tal como na Transformada de Fourier de Tempo Curto, podemos ajustar a resolução no domínio do tempo e da frequência, escolhendo diferentes larguras de funções de janela. Nos casos da Transformada de Gabor, isso é feito adicionando a variância , como na seguinte equação:
A janela gaussiana escalonada (normalizada) denota como:
Portanto, a transformada de Gabor escalonada pode ser escrita como:
Com grande, a função de janela será estreita, causará maior resolução no domínio do tempo, mas menor resolução no domínio da frequência. Caso contrário, se a for pequena, causará uma janela larga, com maior resolução no domínio da frequência, mas menor resolução no domínio do tempo.
Veja também[editar | editar código-fonte]
- Filtros de Gabor
- Wavelet de Gabor
- Átomo de Gabor
- Representação tempo-frequência
- Transformada S
- Transformada de Fourier de Tempo Curto
- Distribuição de Wigner
Referências[editar | editar código-fonte]
- ↑ E. Sejdić, I. Djurović, J. Jiang, “Time-frequency feature representation using energy concentration: An overview of recent advances,” Digital Signal Processing, vol. 19, no. 1, pp. 153-183, Janeiro de 2009.
- D. Gabor, Theory of Communication, Part 1, J. Inst. of Elect. Eng. Part III, Radio and Communication, vol 93, p. 429 1946 (http://genesis.eecg.toronto.edu/gabor1946.pdf)
- Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2007.